Глава 6. Математика сложных систем

Взгляд на живые системы как на самоорганизующиеся сети, все ком­поненты которых взаимосвязаны и взаимозависимы, в процессе развития истории философии и науки неоднократно высказывался в той или иной форме. Однако подробные модели самоорганизующихся систем предложены лишь недавно, когда стал доступен новый матема­тический инструментарий, позволивший ученым смоделировать нели­нейные характеристики взаимосвязанности сетей. Открытие этой новой математики сложности все чаще признается учеными одним из важ­нейших событий XX века.

Теории и модели самоорганизации, описанные в предыдущих гла­вах, имеют дело с весьма сложными системами, состоящими из тысяч взаимозависимых химических реакций. За последние три десятилетия появилось множество новых концепций и технологий для работы с фе­номенами такой огромной сложности; на базе этих концепций в насто­ящее время начинает формироваться согласованная математическая структура. И все же четкого названия этой новой математики пока нет. По научно-популярной литературе она известна как математика слож­ных систем, более технические названия звучат как теория динамических систем, системная динамика, комплексная динамика или нелиней­ная динамика. Вероятно, наиболее широко используется термин теория динамических систем.

Чтобы избежать путаницы, полезно помнить, что теория динами­ческих систем не относится к физическим феноменам, это - математи­ческая теория, концепции и методы которой применимы к достаточно широкому диапазону явлений. То же касается теории хаоса и теории фракталов - важных разделов теории динамических систем.

Новая математика (мы рассмотрим это подробно) является матема­тикой взаимоотношений и паттернов. Имея скорее качественный, чем количественный характер, она тем самым обусловливает сдвиг акцента, что характерно для системного мышления - от объектов к взаимоот­ношениям, от количества к качеству, от материи к паттерну. Развитие мощных высокоскоростных компьютеров сыграло решающую роль в освоении сложных систем. Математики сегодня могут решать сложные уравнения, которые раньше не поддавались решению, и прослеживать решения в виде кривых на графике. Таким способом они обнаружили новые качественные паттерны поведения этих сложных систем, новый уровень порядка, лежащий в основе кажущегося хаоса.

Классическая наука

Чтобы оценить новизну новой математики сложных систем, представ­ляется интересным сопоставить ее с математикой классической науки. Наука, в современном понимании этого термина, появилась в конце XVI века, когда Галилео Галилей первым начал ставить систематические экс­перименты, используя математический язык для формулирования от­крытых им законов природы. В те времена науку все еще называли «на­туральной философией», и когда Галилей говорил «математика», он имел в виду геометрию. «Философия, - писал он, - записана в той Ве­ликой книге, которая всегда перед нашим взором; но мы не сможем по­нять ее, если сначала не выучим ее язык и те символы, которыми она написана. Этот язык - математика, а символы - это треугольники, ок­ружности и другие геометрические фигуры».

Галилео унаследовал эту точку зрения от философов античной Греции, которые были склонны геометризировать все математические проблемы и искать ответы в рамках геометрических фигур. Есть свиде­тельства, что над входом в Академию Платона, главную греческую шко­лу науки и философии на протяжении девяти столетий, была высечена надпись: «Да не войдет сюда несведущий в геометрии».

Несколько веков спустя совершенно иной подход к решению мате­матических проблем, известный как алгебра, был разработан в Персии мусульманскими философами, которые, в свою очередь, переняли его у индийских математиков. Название происходит от арабского al-jabr («связывать вместе») и относится к процессу сокращения числа неизвестных величин путем связывания их вместе в уравнения. В элементар­ной алгебре буквы в уравнениях - взятые обычно из начала алфави­та - означают различные постоянные числа. Хорошо известным при­мером, который большинство читателей помнит со школьной скамьи, служит уравнение (a+b)2 = a2 + 2ab + b2.

В высшей алгебре рассматриваются взаимосвязи, называемые функция­ми, между неизвестными переменными числами, или переменными, ко­торые условно обозначают последними буквами алфавита. Например, говорят, что в уравнении у = х+1 переменная у является функцией х. Это в математике кратко обозначает­ся у = f(x).

Таким образом, во времена Галилея существовало два различных подхода к решению математических проблем - геометрия и алгебра, которые пришли из разных культур. Два эти подхода были объединены Рене Декартом. Моложе Галилея на поколение, Декарт более всего известен как основатель современной философии. Однако он был и блестя­щим математиком. Изобретенный Декартом метод преобразования ал­гебраических формул и уравнений в визуальную геометрическую форму стал величайшим из его многочисленных вкладов в математику.

Метод, известный как аналитическая геометрия, немыслим без де­картовых координат - системы координат, изобретенной Декартом и названной в его честь. Например, когда взаимосвязь между двумя пере­менными х и у из нашего предыдущего примера (уравнение у = х + 1) изображается графически в декартовой системе координат, мы видим, что она соответствует прямой линии (рис. 6-1). Вот почему уравнения такого типа называются линейными.

Подобным же образом уравнение у - х2 представляется в виде пара­болы (рис. 6-2). Уравнения такого типа, соответствующие кривым лини­ям в декартовой сетке координат, называются нелинейными. Их отличительной чертой служит то, что одна или больше его переменных возведены в степень не менее 2-й.

Дифференциальные уравнения

В свете нового метода Декарта законы механики, открытые Галилеем, Могли быть выражены либо в алгебраической форме как уравнения, ли­бо в геометрической - как зримые фигуры. Однако существовала важная математическая проблема, которую ни Галилей, ни Декарт, ни кто-либо из их современников не могли решить. Они не могли составить уравнение, описывающее движение тела с переменной скоростью, с ус­корением или замедлением.

Рис. 6-1. График, соответствующий уравнению у = х +1. Для каждой точки на прямой линии значение у-координаты всегда будет на единицу больше значения соответствующей х-координаты

Рис. 6-2. График, соответствующий уравнению у = х2. Для любой точки параболы, у-координата равна квадрату х-координаты

Чтобы понять эту проблему, рассмотрим два движущихся тела: одно передвигается с постоянной скоростью, другое - с ускорением. Если мы построим для них график зависимости расстояния от времени, то полу­чим две кривые, показанные на рис. 6-3. Скорость ускоряющегося тела меняется каждое мгновение, и это именно то, что Галилей и его современники не могли выразить математически. Иными словами, они не могли вычислить точное значение скорости в данный момент времени.

Рис. 6-3. Графики движения двух тел: одного движущегося с постоянной скоростью, другого - с ускорением

Столетие спустя великану классической науки Исааку Ньютону и, при­мерно в то же время, немецкому философу и математику Готфриду Вильгельму Лейбницу удалось сделать это. Для того чтобы решить эту проблему, на протяжении веков мучившую математиков и натурфило­софов, Ньютон и Лейбниц, независимо друг от друга, изобрели новый математический метод, сегодня известный как дифференциальное исчисление. Метафорически этот метод называется «воротами в высшую математику».

Понять, каким образом Ньютон и Лейбниц подошли к решению проблемы, представляется весьма поучительным и не требует знания специального математического языка. Всем известно, как вычислить скорость движущегося тела, если она остается постоянной. Если вы ве­дете машину со скоростью 20 км/ч, то это значит, что за час вы проедете 20 километров, за 2 часа - 40 и т, д. Другими словами, для того чтобы определить значение скорости машины, вы просто делите расстояние (например, 40 километров) на время, которое у вас уходит, чтобы его проехать (например, 2 часа). Применительно к нашему графику это оз­начает, что разность между двумя координатами расстояния нужно по­делить на разность между двумя соответствующими координатами вре­мени, как это показано на рис. 6-4.

Если скорость машины меняется - а это всегда происходит в реаль­ной жизненной ситуации, - то за один час вы проедете больше или меньше 20 км, в зависимости от того, как часто ускоряли или замедляли ход машины. Как же в таком случае вычислить точную скорость в опре­деленный момент времени?

Вот как это сделал Ньютон. Он предложил сначала вычислить (в слу­чае ускоряющегося движения) примерную скорость между двумя точ­ками, заменив участок кривой между ними прямым отрезком. Как вид­но из рис. 6-5, скорость опять определяется соотношением между (d2 - d1) и ( t2 - t1). Это не будет точным значением скорости ни в одной из двух точек, но если уменьшить расстояние между ними в достаточной степени, мы получим хорошее приближение.

Затем Ньютон предложил: давайте стягивать треугольник, образо­ванный кривой и разностями координат, сдвигая две точки на кривой все ближе и ближе друг к другу. Пока мы делаем это, отрезок прямой между двумя точками будет все ближе и ближе подходить к кривой, а погрешность в вычислении скорости между двумя точками будет все меньше и меньше. В конце концов, когда мы достигаем предела отноше­ния бесконечно малых разниц - это критический шаг - две точки на кривой сливаются в одну, а мы получаем точное значение скорости в этой точке. Геометрически прямая, соответствующая этой скорости, расположится по касательной к кривой.

Стянуть этот треугольник - в математическом смысле - к нулю и вычислить соотношение между двумя бесконечно малыми разностя­ми - задача отнюдь не тривиальная. Точное определение предела бес­конечно малого - самый трудный момент всей процедуры исчисления.

Рис. 6-4. Чтобы вычислить постоянную скорость, нужно поделить разность между координатами расстояния (d2 - d1) на разность между координатами времени ( t2 - t1)

Рис. 6-5. вычисление приблизительного значения скорости между двумя точками в случае ускоряющегося движения

На математическом языке бесконечно малая разность называется дифференциалом; поэтому и исчисление, изобретенное Ньютоном и Лейб­ницем, известно как дифференциальное. Уравнения, в которые входят дифференциалы, называются дифференциальными уравнениями.

Изобретение дифференциального исчисления явилось для науки ги­гантским шагом вперед. Впервые в человеческой истории понятию бес­конечного, волновавшему философов и поэтов с незапамятных времен, было дано точное математическое определение; оно открыло необозри­мые новые возможности для анализа естественных феноменов.

Мощь нового аналитического инструмента можно проиллюстриро­вать на знаменитом парадоксе Зенона, представителя ранней элейской школы греческой философии. Согласно Зенону, великий атлет Ахилл никогда не сможет догнать черепаху в забеге, если черепаха стартует пер­вой, поскольку, как только Ахилл наверстает начальное отставание, че­репаха за это время продвинется еще дальше, а когда Ахилл пробежит и это расстояние, у черепахи опять окажется фора, и так до бесконечности. И хотя отставание атлета продолжает сокращаться, оно никогда не ис­чезнет. В каждый данный момент черепаха всегда будет впереди. Поэто­му, как заключает Зенон, даже самый быстрый бегун никогда не сможет состязаться с медлительной черепахой.

Греческие философы и их последователи веками спорили по поводу этого парадокса, но никак не могли разрешить его, поскольку точное оп­ределение бесконечно малого ускользало от них. Упущение в аргумен­тации Зенона кроется в том, что, даже если Ахиллу придется сделать бес­конечное число шагов, чтобы догнать черепаху, это не займет бесконеч­ного времени. Применив аппарат исчисления Ньютона, можно легко показать, что движущееся тело промчится сквозь бесконечное число бесконечно малых интервалов за конечное время.

В XVII веке Исаак Ньютон использовал свое исчисление для опи­сания любых возможных движений твердых тел с помощью набора дифференциальных уравнений, которые с тех пор стали известны как ньтоновы уравнения движения. Этот подвиг Эйнштейн восславил как «возможно, величайшее достижение мысли, которое когда-либо посчас­тливилось осуществить одному человеку».

Лицом к лицу со сложностью

В течение XVIII и XIX столетий уравнения движения Ньютона были об­лечены в более общие, более абстрактные и более элегантные формы некоторыми из величайших умов в истории математики. Успешные новые формулировки, предложенные Пьером Лапласом, Леонардом Эйлером, Жозефом Лагранжем и Вильямом Гамильтоном, не изменили содержа­ния ньютоновых уравнений, но их возрастающая сложность позволила ученым анализировать постоянно расширяющийся диапазон естествен­ных явлений.

Применяя свою теорию к движению планет, Ньютон сам воспроиз­вел основные особенности Солнечной системы, правда, без учета неко­торых тонкостей. Лаплас, однако, усовершенствовал вычисления Нью­тона до такой степени, что ему удалось объяснить движение планет, их спутников и комет вплоть до мельчайших деталей, равно как и меха­низм приливов и других явлений, связанных с гравитацией.

Воодушевленные этими яркими успехами ньютоновской механики в астрономии, физики и математики распространили ее на движение жидкостей, на вибрацию струн, колоколов, других упругих тел - и она работала! Впечатляющие достижения заставили ученых начала XIX века поверить, что Вселенная на самом деле представляет собой гигантскую механическую систему, функционирующую в соответствии с ньютонов­скими законами движения. Так ньютоновы дифференциальные уравнения стали математической основой механистической парадигмы. Миро­вая машина Ньютона казалась совершенно каузальной и детерминиро­ванной. Все, что происходит, обусловливается определенной причиной и вызывает определенный эффект, и будущее любой части этой системы можно - в принципе - предсказать с абсолютной достоверностью, ес­ли только в начальный момент времени ее состояние известно во всех подробностях.

На практике, конечно, вскоре стала очевидной ограниченность по­пыток моделирования Природы с помощью ньютоновых уравнений. Как замечает британский математик Ян Стюарт, «составлять уравне­ния - одно дело, решать их - совсем другое». Точные решения были ограничены небольшим количеством простых и устойчивых явлений; в то же время существовали обширные области Природы, которые, похо­же, исключали всякое механистическое моделирование. Например, от­носительное движение двух тел, обусловленное силой их тяготения, мог­ло быть вычислено точно; для трех тел соответствующие расчеты стано­вились слишком сложными или неточными; а когда дело касалось газов с миллионами частиц, ситуация казалась безнадежной.

С другой стороны, физики и химики уже долгое время наблюдали в поведении газов некие регулярности, нашедшие свое отражение в фор­мулировке так называемых газовых законов - простых математичес­ких связей между температурой, объемом и давлением газа. Каким обра­зом эта явная простота могла быть выведена из исключительно сложно­го движения отдельных молекул?

В XIX веке великий физик Джеймс Кларк Максвелл нашел ответ. И хотя поведение молекул газа не могло быть определено абсолютно точ­но, ученый утверждал, что наблюдаемые регулярности могут быть обус­ловлены их усредненным поведением. И Максвелл предложил использо­вать статистические методы для определения законов движения для газов:

Мельчайшая порция вещества, которую мы можем подвергнуть эк­сперименту, состоит из миллионов молекул, ни одна из которых ин­дивидуально нами не ощущается. Мы не можем поэтому установить реальное движение ни одной из этих молекул; следовательно, мы вы­нуждены отказаться от прямого исторического метода и принять статистический метод для работы с большими группами молекул.

Метод Максвелла и в самом деле оказался весьма успешным и позво­лил физикам объяснить основные свойства газа на основе усредненного поведения его молекул. Например, стало ясно, что давление газа - это сила, вызванная усредненным напором молекул; оказалось также, что температура пропорциональна усредненной энергии движения моле­кул. Статистика и теория вероятности, теоретическая основа метода, развивались, начиная еще с XVII века, и уже были готовы к применению в теории газов. Объединение статистических методов с ньютоновской механикой привело к возникновению новой области науки, которая, соответственно, была названа статистической механикой; она и стала те­оретической основой термодинамики - теории тепла.

Нелинейность

Итак, к концу XIX века ученые разработали два различных математических инструмента для моделирования естественных явлений - точный (детерминистские уравнения движения для простых систем) и уравнения термодинамики, основанные на статистическом анализе усреднен­ных величин для сложных систем.

И хотя эти два подхода совершенно различны, есть у них и общая черта: они используют линейные уравнения. Ньютоновы уравнения дви­жения носят весьма общий характер и применимы как для линейных, так и для нелинейных явлений; в действительности же нелинейные урав­нения получаются гораздо чаще, можно сказать на каждом шагу. Одна­ко, поскольку они обычно слишком сложны для решения и связаны с хаотической, на первый взгляд, природой соответствующих физических явлений - например, с турбулентными потоками воды и воздуха, - ученые, как правило, избегают изучения нелинейных систем.

Поэтому, как только нелинейные уравнения появлялись, их тут же «линеаризовали», т. е. заменяли линейными приближениями. В резуль­тате, вместо того чтобы описывать явления во всей их сложности, урав­нения классической науки имели дело с малыми колебаниями, неглубокими волнами, небольшими изменениями температуры и т. д. Как заметил Ян Стюарт, эта привычка укоренилась настолько, что многие уравнения линеаризировались уже в ходе составления, поэтому в учебники даже не включались полные нелинейные версии. И даже у большинства ученых и инженеров сложилось убеждение, что фактически все природные явления можно описать с помощью линейных уравнений. «Как мир был подобен заводным часам в XVIII столетии, так он стал линейным в XIX и большей части XX столетия».

Решительная перемена за последние три десятилетия выразилась в осознании того, что Природа, по выражению Стюарта, «безжалостно не­линейна». Нелинейные процессы преобладают в неодушевленном мире в гораздо более значительной степени, чем мы предполагали. Они также являются существенным аспектом сетевых паттернов живых систем. Те­ория динамических систем - первая математическая система, позволяющая ученым работать со всем диапазоном сложности этих нелиней­ных феноменов.

Исследования нелинейных систем за последние десятилетия оказали значительное влияние на науку в целом, поскольку заставили нас заново оценить некоторые фундаментальные представления о взаимоотноше­ниях между математической моделью и теми феноменами, которые она описывает. Одно из таких представлений касается нашего понимания простоты и сложности.

Пребывая в мире линейных уравнений, мы думали, что системы, описываемые простыми уравнениями, отличаются простым поведением, в то время как описываемые сложными уравнениями ведут себя гораздо сложнее. В нелинейном мире - который, как мы начинаем обна­руживать, составляет львиную долю реального мира - простые детер­министские уравнения могут таить в себе неожиданное богатство и разнообразие поведения. С другой стороны, сложное и кажущееся хао­тичным поведение может породить упорядоченные структуры, тонкие и изящные паттерны. В теории хаоса сам термин хаос приобрел новое, техническое значение. Поведение хаотических систем не просто беспо­рядочно: оно проявляет более глубокий уровень паттернового порядка. Как мы увидим ниже, новый математический аппарат позволяет рас­смотреть эти глубинные паттерны в явных и отчетливых формах.

Еще одно важное свойство нелинейных уравнений, которое всегда смущало ученых, заключается в том, что точное предсказание часто бы­вает неосуществимо, даже если уравнения строго детерминированы. Эта поразительная особенность нелинейности обусловила важный сдвиг акцента от количественного анализа к качественному.

Обратная связь и итерации

Третье важное свойство нелинейных систем вытекает из частого возникновения в них процессов с усиливающей обратной связью. В линей­ных системах малые изменения производят малые эффекты, а значительные эффекты являются следствием либо больших изменений, либо суммы множества мелких изменений. В нелинейных системах, напро­тив, мелкие изменения могут вызвать драматический эффект, если они многократно усиливаются через обратную связь. Такие нелинейные процессы с обратной связью лежат в основе неустойчивости и внезапного появления новых форм порядка, столь характерных для самооргани­зации.

Математически петля обратной связи соответствует особому типу нелинейного процесса, известному как итерация (латинское «повторе­ние»); в этом процессе функция многократно применяется к себе самой. Например, если функция состоит в умножении переменной на 3, т. е. f(x) = Зх, то итерация заключается в многократном умножении. В мате­матике это записывается так: х -> Зх, Зх -> 9х, 9х -> 27х и т. д.

Каждый из этих шагов называется отображением. Если мы представим себе переменную х в виде числовой оси, то операция х -> Зх отображает каждое число на другое число на этой же оси. В более общем случае ото­бражение, состоящее в умножении х на постоянное число k, записывает­ся в виде: х -> kx.

Часто встречаемой в нелинейных системах итерацией, очень простой и в то же время производящей огромную сложность, является отобра­жение:

х -> kx(1 - х),

где переменная х ограничена значениями от 0 до 1. Это отображение, известное математикам как логистическое, имеет много важных прило­жений. Его, например, используют экологи для описания роста населе­ния при противоположных тенденциях, и поэтому оно также известно как уравнение роста.

Исследование итераций разнообразных логистических отображе­ний представляет собой увлекательное упражнение, которое можно лег­ко осуществить с помощью карманного калькулятора. Чтобы понять существенную особенность этих итераций, снова выберем значение k = 3: х -> Зх(1 - х),

Переменную х можно представить в виде участка оси от 0 до 1, тогда очень просто вычислить отображения для нескольких точек, например

0 -> 0(1-0) =0

0.2 -> 0.6 (1-0.2) = 0.48

0.4 -> 1.2 (1-0.4) = 0.72

0.6 -> 1.8 (1-0.6) = 0.72

0.8 -> 2.4 (1-0.8) = 0.48

1 -> 3(1-1) =0

Отметив эти числа на двух участках оси, можно увидеть, что величины от 0 до 0,5 отображаются числами от 0 до 0,75. Таким образом, 0,2 пре­вращается в 0,48, а 0,4 становится 0,72. Числа от 0,5 до 1 отображаются на том же участке, но в обратном порядке. Так, 0,6 превращается в 0,72, а 0,8 становится 0,48. Общий эффект показан на рис. 6-6. Отображение растягивает отрезок от 0 до 1,5, а затем снова сворачивает его так, что значения пробегают от 0 до 0,75 и обратно.

Рис. 6-6. Логистическое отображение, или «преобразование пекаря»

Итерация этого отображения выльется в повторяющееся растягивание и сворачивание операций подобно тому, как пекарь вновь и вновь месит тесто, сворачивая и растягивая его. Эту итерацию очень удачно назвали преобразованием пекаря. По мере того как происходит растягивание и сжимание, соседние точки на отрезке будут все дальше и дальше расходиться, и предсказать, где окажется определенная точка после множест­ва итераций, становится невозможно.

Даже самые мощные компьютеры округляют свои вычисления, ограничивая количество цифр после точки; и после большого количест­ва итераций даже мелкие погрешности округления складываются в зна­чительную неопределенность, исключая любые предсказания. Преобра­зование пекаря есть прототип нелинейных сверхсложных непредсказуе­мых процессов, обозначаемых специальным термином «хаос».

Пуанкаре и следы хаоса

Теория динамических систем - математическая теория, позволившая внести порядок в хаос, - была разработана совсем недавно, однако ее основы были заложены в начале XX века одним из величайших матема­тиков нового времени Анри Пуанкаре. Среди математиков своего века Пуанкаре был последним великим эрудитом. Ученый внес весомый вклад фактически во все разделы математики. Собрание его сочинений исчисляется несколькими сотнями томов.

В конце XX века нам не трудно оценивать достижения Пуанкаре: важнейшее из них состояло в том, что он вернул в математику визуаль­ные образы. Начиная с XVII века, стиль европейской математики по­степенно смещался от геометрии (математики визуальных форм) к алгебре (математике формул). Так, например, Лаплас, один из великих формализаторов, гордился тем, что в его «Аполитической механике» нет ни одного рисунка. Пуанкаре развернул тенденцию в обратном направлении, ослабляя засилье анализа и формул, становившееся все более гнетущим, и возвращаясь к визуальным паттернам.

Визуальная математика Пуанкаре, однако, не равнозначна гео­метрии Евклида. Это геометрия нового типа, математика паттернов и взаимоотношений, известная как топология. Топология - это геомет­рия, в которой все длины, углы и площади могут деформироваться как угодно. Так, треугольник может быть постепенно трансформирован в прямоугольник, прямоугольник - в квадрат, квадрат - в окружность. Точно так же куб может превратиться в цилиндр, цилиндр - в конус, конус - в сферу. Благодаря этим непрерывным преобразованиям топо­логию часто называют «резиновой геометрией». Все фигуры, которые могут быть преобразованы друг в друга посредством непрерывного сги­бания, растягивания и кручения, называются топологически эквивален­тными.

Тем не менее, не все можно осуществить через топологическую трансформацию. Фактически топология занимается как раз теми свойс­твами геометрических фигур, которые не изменяются при их трансфор­мации. Пересечения линий, например, остаются пересечениями, а отвер­стие в торе (бублике) нельзя трансформировать так, чтобы оно пропало. Таким образом, бублик может быть топологически трансформирован в кофейную чашечку (отверстие превратится в отверстие ручки), но ни­как не в блин. Тогда топология оказывается действительно математикой взаимоотношений, неизменяемых, или инвариантных, паттернов.

Пуанкаре использовал топологическую концепцию для анализа ка­чественных особенностей сложных динамических проблем - и тем са­мым заложил основы математики сложных систем, которая сформиро­валась лишь столетие спустя. Среди проблем, проанализированных Пу­анкаре, была знаменитая проблема трех тел в небесной механике (относительное движение трех тел под влиянием их взаимного гравита­ционного притяжения), которую прежде никому не удавалось решить. Применив свой топологический метод к слегка упрощенной проблеме трех тел, Пуанкаре смог определить общую форму их траекторий, и на­шел, что она отличается устрашающей сложностью:

Когда пытаешься представить фигуру, образуемую этими двумя кривыми и бесконечными их пересечениями... обнаруживаешь не­кую сеть, паутину, или бесконечно густую решетку; ни одна из этих кривых никогда не может пересечь саму себя, но должна загибаться очень сложным образом, чтобы пересечь нити паутины бесконечно много раз. Поражает сложность этой фигуры, которую я даже не пы­таюсь нарисовать.

То, что Пуанкаре изображал в уме, теперь называется странным ат­трактором. По словам Яна Стюарта, «Пуанкаре видел отпечатки ступ­ней хаоса». Показав, что простые детерминированные уравнения дви­жения могут порождать невообразимую сложность, не поддающуюся никаким попыткам предсказания, Пуанкаре бросил вызов самим осно­вам ньютоновской механики. Однако по очередной причуде истории, ученые начала века не приняли этот вызов. Через несколько лет после того, как Пуанкаре опубликовал свою работу по проблеме трех тел, Макс Планк открыл энергетические кванты, а Альберт Эйнштейн опублико­вал свою специальную теорию относительности. В течение второй по­ловины века физики и математики были зачарованы революционными открытиями в квантовой физике, теории относительности, а важнейшее открытие Пуанкаре отошло на задний план. Так продолжалось до 60-х годов, когда ученые вновь столкнулись со сложностями хаоса.

Траектории в абстрактных пространствах

Математический аппарат, позволивший ученым в течение трех послед­них десятилетий обнаружить упорядоченные паттерны в хаотических системах, основан на топологическом подходе Пуанкаре и тесно связан с развитием компьютеров. С помощью современных высокоскорост­ных компьютеров ученые могут решать нелинейные уравнения такими методами, которые ранее были недоступны; легко могут вычерчивать сложные траектории, которые Пуанкаре даже не пытался изобразить.

Как большинство читателей помнят со школьной скамьи, уравнение решают посредством различных манипуляций с ним, пока не получают окончательную формулу - решение. Оно и называется «аналитичес­ким» решением уравнения. Результатом всегда является формула. Боль­шинство нелинейных уравнений, описывающих естественные явления, слишком сложны для того, чтобы их можно было решить аналитически. Однако есть еще один способ - так называемое «численное» решение уравнения. Оно включает в себя метод проб и ошибок. Вы пробуете разнообразные комбинации чисел для переменных, пока не найдете те, которые удовлетворяют уравнению. Была разработана специальная тех­ника и специфические приемы для эффективного решения этой задачи, но для большинства уравнений подобный процесс оказывается слиш­ком громоздким, занимает много времени и дает очень грубые, прибли­зительные решения.

Ситуация изменилась с появлением нового поколения компьюте­ров. Теперь у нас есть программы для исключительно быстрого и точно­го численного решения уравнений. Применяя новые методы, мы можем решать нелинейные уравнения с любой степенью точности. Тем не менее, это решения совершенно иного плана. Результатом становится не формула, а огромное множество значений переменных, удовлетворяю­щих уравнению, и компьютер можно запрограммировать так, чтобы он графически вычерчивал решение в виде кривой или множества кривых. Такая технология позволила ученым решить сложные нелинейные уравнения, связанные с хаотическими феноменами, и обнаружить поря­док в кажущемся хаосе.

Для того чтобы обнаружить эти упорядоченные паттерны, перемен­ные сложной системы отображаются в абстрактном математическом пространстве - так называемом фазовом пространстве. Эта хорошо из­вестная методика была разработана в термодинамике еще в начале ве­ка. Каждой переменной в системе ставится в соответствие одна из ко­ординат абстрактного пространства. Проиллюстрируем это очень прос­тым примером: шариком, раскачивающимся на маятнике. Чтобы полностью описать движение маятника, требуются две переменные: угол, который может быть положительным либо отрицательным, и ско­рость, которая также может быть положительной или отрицательной, в зависимости от направления отклонения маятника. С помощью этих двух переменных, угла и скорости, можно полностью описать состояние движения маятника в любой момент времени.

Рис. 6-7. Двухмерное фазовое пространство маятника

Если теперь мы начертим декартову систему координат, в которой одна ось соответствует углу, а другая - скорости (рис. 6-7), эта система коор­динат представит двухмерное пространство, в котором каждая опреде­ленная точка соответствует возможному состоянию движения маят­ника. Посмотрим, где располагаются эти точки. В состоянии крайнего отклонения скорость равна нулю. Это дает нам две точки на горизон­тальной оси. В центре, где угол равен нулю, скорость максимальна и либо положительна (когда маятник движется, например, вправо), либо отри­цательна (когда маятник движется в противоположном направлении). Это дает нам две точки на вертикальной оси. Эти четыре точки в фазо­вом пространстве, которые мы обозначили на рис. 6-7, отражают край­ние состояния маятника - максимальное отклонение и максимальную скорость. Точное расположение этих точек будет зависеть от выбранных нами единиц измерения.

Если мы продолжим наблюдения и отметим точки, соответствующие состояниям движения между крайними положениями, то обнаружим, что они лежат на замкнутой петле. Можно превратить петлю в окружность, должным образом выбрав единицы измерения, но, в общем случае, это будет нечто вроде эллипса (рис- 6-8).

Рис. 6-8. Траектория маятника в фазовом пространстве

Эта кривая называется траекторией маятника в фазовом пространстве и полностью описывает движение системы. Все переменные системы (в нашем простом случае - две) представлены единственной точкой, всег­да расположенной где-то на этой кривой. С каждым полным циклом ка­чания маятника точка в фазовом пространстве будет описывать петлю.

В любой момент мы можем измерить две координаты точки в фазовом пространстве и таким образом узнать точное состояние системы (угол и скорость). Заметим, что эта кривая никоим образом не является траек­торией самого маятника. Это кривая, образованная двумя переменными системы в абстрактном математическом пространстве.

В этом и заключается методика фазового пространства. Переменные данной системы изображаются в абстрактном пространстве, причем од­на точка описывает всю систему. По мере того как система изменяет свое состояние, точка вычерчивает в фазовом пространстве траекторию - в нашем случае замкнутую кривую. Когда система является не простым маятником, а гораздо более сложной структурой, у нее, соответственно, больше переменных, но метод остается прежним. Каждая переменная представлена координатой в отдельном измерении фазового простран­ства. Если в системе 16 переменных, мы получим 16-мерное пространс­тво. Одна точка в этом пространстве будет полностью описывать состо­яние всей системы, поскольку эта точка имеет 16 координат, каждая из которых соответствует одной из 16 переменных системы.

Рис. 6-9. Траектория маятника с трением в фазовом пространстве

Безусловно, мы не можем визуально воспринять фазовое пространство с 16 измерениями; потому его и называют абстрактным математическим пространством. Математики не испытывают никаких проблем с такими абстракциями. Они вполне комфортно чувствуют себя в пространствах, которые нельзя визуализировать. В любом случае, по мере изменения системы точка, определяющая ее состояние в фазовом пространстве, бу­дет двигаться по этому пространству, вычерчивая некую траекторию. Различные начальные состояния системы соответствуют различным начальным точкам в фазовом пространстве, что, в общем случае, обуслов­ливает различные траектории.

Странные аттракторы

Теперь вернемся к нашему маятнику и отметим, что это был идеализи­рованный маятник без трения, раскачивающийся вправо-влево в беско­нечном движении. Это типичный пример классической физики, где тре­нием, как правило, пренебрегают. Реальный маятник всегда подвержен некоторому трению, замедляющему его ход, поэтому рано или поздно он остановится. В двухмерном фазовом пространстве это движение отображено кривой, закручивающейся к центру, как показано на рис. 6-9. Эта траектория называется аттрактором, поскольку математики говорят, что, в метафорическом смысле, фиксированная точка в центре системы координат притягивает (англ, «attract») эту траекторию. Мета­фору распространили и на замкнутые петли, подобные той, что пред­ставляет маятник без трения. Траектория в виде замкнутой петли полу­чила название периодического аттрактора, в то время как траектория, закручивающаяся к центру, называется точечным аттрактором.

В течение последующих двадцати лет метод фазового пространства использовался для исследования множества сложных систем. Каждый раз ученые и математики составляют нелинейные уравнения, решают их численными методами, а компьютеры вычерчивают решения в виде траекторий в фазовом пространстве. К своему великому удивлению, исследователи обнаружили, что число различных аттракторов весьма ог­раничено. Их формы можно классифицировать топологически, а общие динамические свойства системы - вывести из формы ее аттрактора.

Существует три основных типа аттракторов: точечные соответствующие системам, которые достигают устойчивого равновесия; периодические, соответствующие периодическим колебаниям; и так называе­мые странные аттракторы, соответствующие хаотическим системам. Типичный пример системы со странным аттрактором представляет со­бой «хаотический маятник», впервые исследованный японским матема­тиком Йошисуке Уэда в конце 1970-х годов. Это нелинейная электрон­ная схема с внешним питанием, относительно простая, но с исключи­тельно сложным поведением. Каждое колебание этого хаотического генератора колебаний уникально. Система никогда не повторяет себя, и каждый цикл открывает новую область фазового пространства. Тем не менее, несмотря на кажущуюся неустойчивость движения, точки в фазовом пространстве расположены отнюдь не беспорядочно. Вместе они формируют сложный высокоорганизованный паттерн - странный ат­трактор, который теперь носит имя Уэда.

Рис. 6-10. Аттрактор Уэда. Из Ueda et al. (1993)

Аттрактор Уэда - это траектория в двухмерном фазовом пространстве, которая образует почти повторяющие друг друга паттерны. Это типич­ная особенность хаотических систем. Изображение на рис. 6-10 содер­жит более 1 000 000 точек. Ее можно представить в виде среза куска тес­та, который многократно растягивали и сворачивали. Это означает, что в основе аттрактора Уэда лежит математика преобразования пекаря.

Одно удивительное свойство странных аттракторов заключается в том, что они, как правило, ограничены малым числом измерений - даже мнргомерном фазовом пространстве. Например, система может со­держать 50 переменных, но ее движение при этом описывается трехмер­ным странным аттрактором - свернутой поверхностью в 50-мерном пространстве. Это, естественно, характеризует высокую степень по­рядка.

Таким образом, хаотичное поведение - в современном научном по­нимании этого термина - разительно отличается от беспорядочного, неустойчивого движения. С помощью странных аттракторов можно оп­ределить различие между обычной беспорядочностью, или шумом, и ха­осом. Хаотичное поведение детерминировано и образует паттерны, а странные аттракторы позволяют преобразовывать на первый взгляд случайные данные в отчетливые визуальные формы.

«Эффект бабочки»

Как мы видели на примере преобразования пекаря, для хаотических си­стем характерна чрезвычайная чувствительность к начальным условиям. Мельчайшие изменения в начальном состоянии системы со временем приводят к крупномасштабным последствиям. В теории хаоса это называется «эффектом бабочки». Основой для названия послужило по­лушутливое утверждение, что бабочка, всколыхнув сегодня воздух в Пе­кине, может через месяц оказаться причиной бури в Нью-Йорке. Эффект бабочки был открыт в начале 1960-х годов метеорологом Эдвардом Лоренцом, разработавшим очень простую модель погодных условий, состоящую из трех связанных нелинейных уравнений. Он об­наружил, что решения его уравнений чрезвычайно чувствительны к на­чальным состояниям. Начинаясь практически в одной точке, две траек­тории будут развиваться совершенно по-разному, исключая возмож­ность каких бы то ни было заблаговременных предсказаний.

Это открытие привело в замешательство все мировое научное сооб­щество, поскольку ученые давно привыкли полагаться на детерминиро­ванные уравнения для предсказания с большой точностью таких фено­менов, как солнечные затмения или появление комет. Казалось непости­жимым, что четко детерминированные уравнения движения могут привести к непредсказуемым результатам. И все же именно это обнару­жил Лоренц. По его собственным словам:

Обычный человек, видя, что мы достаточно эффективно предсказы­ваем приливы на несколько месяцев вперед, спросит, почему мы не можем проделать то же самое в отношении атмосферы. Ведь это все­го лишь другая система потоков и ее законы не более сложны. Но я понял, что любая физическая система, не проявляющая периодич­ности в поведении, непредсказуема.

Модель Лоренца не представляет какого-то реального феномена по­годы, но служит поразительным примером того, как простой набор не­линейных уравнений может привести к крайне сложному поведению.

Публикация этой модели в 1963 году знаменовала зарождение теории хаоса, и аттрактор, известный с тех пор как аттрактор Лоренца, стал са­мым известным и широко изучаемым из странных аттракторов. В то время как аттрактор Уэда двухмерен, аттрактор Лоренца расположен в трех измерениях (рис. 6-11). Вычерчивая его, точка в фазовом простран­стве движется по видимости случайным образом и описывает несколько колебаний нарастающей амплитуды вокруг одного центра, затем следу­ют колебания вокруг второго центра, потом она внезапно возвращается и осциллирует вокруг первого центра и т. д.

Рис. 6-11. Аттрактор Лоренца. Из Mosekilde et al. (1994)

От количества к качеству

Невозможность предсказать, какую точку в фазовом пространстве пере­сечет траектория аттрактора Лоренца в определенный момент времени, являет собой общую для хаотических систем особенность. Однако это вовсе не означает, что теория хаоса не дает оснований никаким предска­заниям. Возможны чрезвычайно точные прогнозы относительно качес­твенных особенностей поведения системы, а не точных значений ее пе­ременных в определенный момент времени. Новая математика, таким образом, представляет сдвиг от количества к качеству, что характерно для системного мышления вообще. В то время как традиционная математика имеет дело с количествами и формулами, теория динамических систем связана с качеством и паттерном.

Действительно, анализ нелинейных систем с помощью топологичес­ких характеристик их аттракторов известен как количественный анализ. У нелинейной системы может быть несколько аттракторов разных ти­пов, как хаотичных, или «странных», так и нехаотичных. Все траектории, начинающиеся в определенной области фазового пространства, рано или поздно приводят к одному и тому же аттрактору. Эта область назы­вается сферой притяжения данного аттрактора. Таким образом, фазовое пространство нелинейной системы разбивается на несколько сфер при­тяжения, каждой из которых соответствует ее отдельный аттрактор.

Количественный анализ динамической системы сводится к опреде­лению аттракторов системы и сфер их притяжения, а также классифи­кации их в рамках топологических характеристик. Результатом является динамическая картина всей системы, называемая фазовым портретом. Математические методы анализа фазовых портретов основаны на нова­торских трудах Пуанкаре; впоследствии они были развиты и усовершен­ствованы американским топологом Стивеном Смейлом в начале 60-х. Смейл использовал свой метод не только для анализа систем, представ­ленных определенным набором нелинейных уравнений, но также для изучения того, как ведут себя эти системы при небольших изменениях в их уравнениях. По мере того как параметры уравнений медленно меня­ются, фазовый портрет - т. е. формы его аттракторов и сферы притя­жения - как правило, претерпевает соответствующие плавные измене­ния, не изменяя своих основных характеристик. Смейл использовал тер­мин «структурно устойчивый» для описания таких систем, в которых небольшие отклонения в уравнениях не изменяют основного характера фазового портрета.

Во многих нелинейных системах, однако, малые изменения в опреде­ленных параметрах могут обусловить серьезные изменения основных характеристик фазового портрета. Аттракторы могут исчезнуть или превратиться из одного в другой, могут также внезапно появиться но­вые аттракторы. Говорят, что такие системы структурно неустойчивы, и критические точки неустойчивости называют точками бифуркации- («разветвления»), поскольку в эволюции системы именно в этих местах внезапно появляется «вилка», и система отклоняется в том или ином но­вом направлении. В математическом смысле, точки бифуркации отме­чают внезапные изменения фазового портрета системы. В физическом смысле, они соответствуют точкам неустойчивости, в которых система резко изменяемся, и неожиданно появляются новые формы упорядоченности. Как показал Пригожий, такие неустойчивости случаются только в открытых системах, далеких от равновесия.

Поскольку типов аттракторов достаточно мало, то не много существует и различных типов бифуркации; следовательно, их можно класси­фицировать топологически, как и аттракторы. Одним из первых, кто в 70-е годы осуществил это, был французский математик Рене Том; он ис­пользовал термин катастрофы вместо бифуркации и определил семь элементарных катастроф. В настоящее время математикам известно примерно в три раза больше типов бифуркаций. Ральф Эбрахам, про­фессор математики в Калифорнийском университете в Санта-Круз, вместе с художником-графиком Кристофером Шоу создали серию книг по визуальной математике без единого уравнения или формулы; авторы считают эти книги началом полной энциклопедии бифуркаций.

Фрактальная геометрия

В то время как в течение 60-х и 70-х гг, ученые исследовали странные аттракторы, независимо от теории хаоса была изобретена фрактальная геометрия, давшая мощный математический язык для описания тонкой структуры хаотических аттракторов. Автором этого нового языка стал французский математик Бенуа Мандельбро. В конце 50-х Мандельбро начал изучать геометрию самых разнообразных нерегулярных естест­венных феноменов, а в 60-е годы он осознал, что у всех рассматриваемых им геометрических форм есть поразительные общие особенности. В последующие десять лет Мандельбро разрабатывал новый тип матема­тики, чтобы описать и проанализировать эти особенности. Он ввел тер­мин фрактал, характеризующий его изобретение, и опубликовал свои результаты в замечательной книге «Фрактальная геометрия природы». Книга имела огромное влияние на новое поколение математиков, разви­вавших теорию хаоса и другие разделы теории динамических систем23.

Недавно в одной из бесед Мандельбро пояснил, что фрактальная геометрия имеет дело с тем аспектом Природы, который каждому извес­тен, но который никто еще не смог описать в формальных математичес­ких терминах. Некоторые природные характеристики геометричны в традиционном смысле. Ствол дерева более или менее подобен цилиндру; полная Луна более или менее напоминает круглый диск; планеты движутся вокруг Солнца по более или менее эллиптическим траекториям. Однако это исключения, и Мандельбро напоминает нам:

Чаще всего природа в высшей степени сложна. Как описать облако? Облако - это не сфера... Оно похоже на мяч, но очень неупорядо­ченно. А гора? Гора - не конус... Если вы хотите говорить о горах, реках, молнии, геометрический школьный язык оказывается совер­шенно неадекватным.

И Мандельбро создал фрактальную геометрию - «язык, на котором можно говорить об облаках», - чтобы описывать и анализировать сложность нерегулярных форм в окружающем нас мире природы.

Наиболее поразительное свойство этих «фрактальных» форм заклю­чается в том, что их характерные паттерны многократно повторяются на нисходящих уровнях так, что их части на любом уровне по форме напоминают целое. Мандельбро иллюстрирует это свойство самоподо­бия, отламывая кусочек цветной капусты и указывая на то, что сам по себе кусочек выглядит как маленький кочан цветной капусты. Он про­должает демонстрацию, деля часть дальше, изымая еще один кусочек, который тоже выглядит как очень маленький кочан. Таким образом, каждая часть выглядит как целый овощ. Форма целого подобна самой себе на всех уровнях выбранного диапазона.

В природе встречается множество других примеров самоподобия. Камни в горах напоминают маленькие горы; ответвления молнии или края облаков снова и снова повторяют один и тот же паттерн; побережье моря можно делить на все более мелкие части, и в каждой из них будут проявляться подобные друг другу очертания береговой линии. Фото­графии дельты реки, кроны дерева или ветвления кровеносных сосудов могут проявлять паттерны такого разительного сходства, что мы порой не можем отличить один от другого. Подобие образов совершенно раз­личных масштабов было известно очень давно, но до Мандельбро никто не владел математическим языком для описания этого явления.

Когда в середине 70-х Мандельбро опубликовал свою новаторскую кни­гу, он еще сам не догадывался о связи между фрактальной геометрией и теорией хаоса, но ему и его коллегам-математикам не понадобилось много времени, чтобы обнаружить, что странные аттракторы могут слу­жить изысканнейшими примерами фракталов. Если части их структуры увеличить, то обнаруживается многослойная субструктура, в которой вновь и вновь повторяются одни и те же паттерны. В связи с этим стран­ные аттракторы стали определять как траектории в фазовом простран­стве, в которых проявляются черты фрактальной геометрии.

Еще одна важная связь между теорией хаоса и фрактальной геомет­рией проявилась в переходе от количества к качеству. Как мы видели, невозможно предсказать значения переменных хаотической системы в определенный момент времени, но можно предсказать качественные особенности поведения системы. Точно так же, невозможно вычислить длину или площадь фрактальной формы, однако можно - качествен­ным способом - определить степень ее изрезанное.

Мандельбро подчеркнул эту существенную особенность фракталь­ных форм, задав провоцирующий вопрос: какова протяженность побе­режья Британии? Он показал, что, поскольку измеряемую длину можно растягивать до бесконечности, переходя ко все более мелкому масштабу, на этот вопрос нет однозначного ответа. Зато можно определить число в диапазоне от 1 до 2, которое характеризует изрезанность побережья. Для британского побережья это число равно около 1,58; для более изре­занного норвежского берега оно близко к 1,7027.

Поскольку можно показать, что это число имеет определенные свойства размерности, Мандельбро назвал его фрактальной размер­ностью. Мы можем понять эту идею интуитивно, зная, что извилистая линия занимает больше пространства на плоскости, чем одномерная гладкая линия, но меньше, чем сама двухмерная плоскость. Чем больше изрезана линия, тем ближе к числу 2 ее фрактальная размерность. По­добным же образом, скомканный лист бумаги занимает больше прост­ранства, чем плоскость, но меньше, чем сфера. Таким образом, чем плот­нее скомкана бумага, тем ближе к числу 3 будет ее фрактальная размер­ность.

Концепция фрактальной размерности, изначально появившаяся как чисто абстрактная математическая идея, превратилась со временем в мощный инструмент анализа сложности фрактальных форм, посколь­ку замечательно соответствует нашему жизненному опыту. Чем более изрезаны очертания молнии или границы облаков, чем менее сглажены формы побережий или гор, тем выше их фрактальные размерности. Чтобы смоделировать фрактальные формы, встречающиеся в природе, можно сконструировать геометрические фигуры, обладающие точным самоподобием. Основным методом для построения таких математичес­ких фракталов служит итерация, т. е. многократное повторение определенной геометрической операции. Процесс итерации, который привел нас к преобразованию пекаря - математической операции, лежащей в основе странных аттракторов, - оказался, таким образом, главной ма­тематической особенностью, объединяющей теорию хаоса с фракталь­ной геометрией.

Одной из простейших фрактальных форм, производимых итераци­ей, является так называемая кривая Коха, или «кривая снежинки». Гео­метрическая операция заключается в том, чтобы разбить отрезок линии на три равные части и затем заменить центральную секцию двумя сто­ронами равностороннего треугольника, как показано на рис. 6-12. По­вторение этой операции во все более мелких масштабах приводит к по­явлению кружевной снежинки (рис. 6-13). Как и в случае с изрезанной береговой линией, кривая Коха становится бесконечно длинной, если итерация продолжается бесконечно. В сущности, кривую Коха можно рассматривать как очень грубую модель береговой линии (рис. 6-14).

Рис. 6-12. Геометрическая операция для построения кривой Коха

Рис. 6-13. Снежинка Коха

Рис. 6-14. Моделирование береговой линии с помощью кривой Коха

С помощью компьютеров простые геометрические итерации можно применять тысячи раз в различных масштабах, производя так называе­мые фрактальные подделки - компьютерные модели растений, деревь­ев, гор, береговых линий и т. п., обладающие поразительным сходством с реальными формами, которые встречаются в природе. На рис. 6-15 приведен пример такой подделки. Производя итерацию над простым рисунком веточки в различных масштабах, удалось получить красивое и сложное изображение папоротника.

Рис. 6-15. Фрактальная подделка папоротника. Из Garcia (1991)

Этот новый математический аппарат позволил ученым строить точные модели разнообразных нерегулярных естественных форм. Занимаясь этим моделированием, они повсеместно обнаруживали присутствие фракталов. Фрактальные паттерны облаков, которые изначально вооду­шевили Мандельбро на поиски нового математического языка, вероят­но, самые изумительные. Их самоподобие охватывает семь порядков ве­личин, а это означает, что если границу облака увеличить в 10 000 000 раз, она будет иметь все ту же знакомую форму.

Комплексные числа

Вершиной фрактальной геометрии стало открытие Мандельбро мате­матической структуры, которая обладает ошеломляющей сложностью и все же может быть воспроизведена с помощью очень простой итератив­ной процедуры. Чтобы понять эту поразительную фрактальную фигуру, известную как множество Манделъбро, необходимо сначала ознакомить­ся с одним из важнейших математических понятий - комплексными числами.

Открытие комплексных чисел стало восхитительной главой в ис­тории математики. Когда в средние века возникла алгебра, и математи­ки принялись исследовать все виды уравнений и классифицировать их решения, они вскоре столкнулись с задачами, не имевшими решения в рамках множества известных им чисел. В частности, уравнения типа х + 5 = 3 заставили их расширить понятие числа до отрицательных чи­сел, так чтобы решение могло быть записано как х = -2. В дальнейшем так называемые действительные числа - положительные и отрицатель­ные целые числа, дроби и иррациональные числа (например, квадрат­ные корни или знаменитое число π) - стали представлять как точки на единой плотно населенной числовой оси (рис. 6-16).

Рис. 6-16 Числовая ось

С таким расширением понятия числа все алгебраические уравнения, в принципе, могли быть решены - за исключением тех, где фигурирова­ли квадратные корни отрицательных чисел. Уравнение х2 = 4 имеет два решения: х = 2 и х = -2; однако для х2 = -4, по всей видимости, не должно быть решения, поскольку ни +2, ни - 2 при возведении в квадрат не да­дут -4.

Древние индийские и арабские алгебраисты постоянно встречались с такими уравнениями, но отказывались даже записывать выражения типа "квадратный корень из минус четырех", считая их абсолютно бессмысленными. И только в XVI веке квадратные корни отрицательных чисел стали появляться в алгебраических текстах, но и тогда авторы спешили пояснить, что такие выраже­ния на самом деле ничего не означают.

Декарт называл квадратный корень отрицательного числа «мнимым числом» и был уверен, что появление таких мнимых чисел в расчетах означает, что проблема неразрешима. Другие математики использовали термины «фиктивные», «фальшивые» или «невозможные» для обозна­чения величин, которые сегодня мы, с легкой руки Декарта, все еще на­зываем мнимыми числами.

Поскольку квадратный корень отрицательного числа не может быть помещен ни в одной точке числовой оси, математики, вплоть до XIX столетия, не могли наделить эти величины никаким реальным смыслом.

Великий Лейбниц, изобретатель дифференциального исчисления, приписывал выражению "корень квадратный из -1" мистические свойства, видя в нем проявление Божественного Духа и называя его «этой амфибией между бытием и не­бытием». Столетие спустя Леонард Эйлер, самый плодотворный мате­матик всех времен, выразил ту же мысль в своей «Алгебре» словами хотя и менее поэтичными, но все же содержащими отголосок Чуда:

Следовательно, все такие выражения, как корень квадратный из -1 и корень квадратный из -2 и т. п., есть невоз­можные, или мнимые числа, поскольку представляют корни отрица­тельных величин; по поводу таких чисел мы можем достоверно ут­верждать, что они ни ничто, ни нечто большее, чем ничто, ни нечто меньшее, чем ничто, из чего неизбежно следует, что они мнимы, или невозможны.

В XIX веке другой математический гений, Карл Фридрих Гаусс, окон­чательно и твердо провозгласил, что «этим мнимым сущностям может быть приписано объективное бытие». Гаусс, конечно, понимал, что мнимым числам не найдется места на числовой оси, а поэтому он по­просту поместил их на перпендикулярную ось, которую провел через ну­левую точку основной оси, построив, таким образом, декартову систему координат. В этой системе все действительные числа располагаются на действительной оси, а все мнимые числа - на мнимой оси (рис. 6-17); корень квадратный из -1 называется мнимой единицей и обозначается символом i. А по­скольку любой квадратный корень отрицательного числа всегда может быть представлен как "корень квадратный из -a равен умножению корня квадратного из -1 и корня квадратного из a и равен i, умноженному на корень квадратный из a"
то все мнимые числа можно расположить на мнимой оси как кратные i. Таким остроумным способом Гаусс создал прибежище не только для мнимых чисел, но и для всех возможных комбинаций действительных и мнимых чисел, например, (2 + i), (3 - i) и т. п. Такие комбинации полу­чили название комплексных чисел; они представлены точками на плос­кости, которая называется комплексной плоскостью и образована дей­ствительной и мнимой осями. В общем случае любое комплексное число можно записать в виде z = х + iу, где х - действительная часть, а у - мнимая часть. Введя это определение, Гаусс создал специальную алгебру комплекс­ных чисел и разработал множество фундаментальных идей в области функций комплексного переменного. В конце концов, это привело к по­явлению целого раздела математики, известного как комплексный ана­лиз, который выделяется огромным диапазоном применений в самых разнообразных областях науки.

Рис. 6-17. Комплексная плоскость

Паттерны внутри паттернов

Причина, по которой мы затеяли этот экскурс в историю комплексных чисел, заключается в том, что многие фрактальные формы могут быть воспроизведены математически, с помощью итеративных процедур на комплексной плоскости, В конце 70-х годов, опубликовав свою новатор­скую книгу, Мандельбро обратил внимание на особый класс математи­ческих фракталов, известных как множества Жулиа. Эти множества были открыты французским математиком Гастоном Жулиа в начале XX столетия, но скоро канули в безвестность. Интересно отметить, что Ман­дельбро впервые наткнулся на работы Жулиа еще студентом, посмотрел на его примитивные рисунки (выполненные в те времена без помощи компьютера) и потерял к ним интерес. Спустя полвека, однако, Ман­дельбро понял, что рисунки Жулиа представляют собой грубые наброс­ки сложных фрактальных форм; и он принялся подробно воспроизво­дить их с помощью самых мощных компьютеров, какие только сумел найти. Результаты оказались поразительными.

В основу множества Жулиа положено простое отображение

z -> z2 + с,

где z - комплексная переменная, а с - комплексная постоянная. Итера­тивная процедура состоит в выборе любого числа z на комплексной плоскости, возведении его в квадрат, добавлении константы с, возве­дении результата в квадрат, добавлении к нему константы с и т. п. Когда это вычисление выполняется с различными начальными значениями z, некоторые из них будут увеличиваться до бесконечности в ходе процесса итерации, в то время как другие остаются конечными. Множество Жу­лиа - это набор всех тех значений z, или точек на комплексной плоскос­ти, которые при итерации ограничены некоторым пределом, т. е. ко­нечны.

Чтобы определить тип множества Жулиа для определенной конс­танты с, итерацию необходимо каждый раз выполнить для нескольких тысяч точек, пока не выяснится, продолжают ли значения увеличивать­ся или остаются конечными. Если конечные точки помечать черным цветом, а те, что продолжают увеличиваться, - белым, множество Жу­лиа в конце концов проявится в виде черной фигуры. Вся процедура очень проста, но занимает много времени. Очевидно, необходимо ис­пользование высокоскоростного компьютера, чтобы получить точную форму за приемлемое время.

Для каждой константы с можно получить различные множества Жулиа, поэтому число этих множеств неограниченно. Некоторые из них представляют собой отдельные, связанные между собой части; другие распадаются на несколько изолированных частей; а третьи выглядят так, будто они рассыпались на мелкие осколки (рис. 6-18). Все множества от­личаются неровными, изрезанными очертаниями, что характерно для фракталов, и большинство из них невозможно описать языком класси­ческой геометрии. «Получается невообразимое разнообразие множеств Жулиа, - восхищается французский математик Адриен Дуади. Одни напоминают плотные облака, другие - тощий куст ежевики, а некото­рые похожи на искры, парящие в воздухе после фейерверка. Встречается форма кролика, многие напоминают хвосты морских коньков».

Рис. 6-18. Разнообразие множеств Жулиа. Из Peitigen and Richter (1986)

Богатство и разнообразие форм, многие из которых напоминают живые создания, просто поражает. Однако настоящие чудеса начинаются, ког­да мы увеличиваем очертания любой части множества Жулиа. Как и в случае с облаком или береговой линией, такое же богатство отображает­ся на всех уровнях диапазона исследования. С увеличением степени раз­решения (т. е. когда все больше и больше знаков после точки учитывает­ся при вычислении числа z) появляется все больше и больше деталей контура фрактала и обнаруживается фантастическая последователь­ность паттернов внутри паттернов - похожих, но никогда не идентич­ных друг другу.

Когда Мандельбро в конце 70-х годов анализировал различные ма­тематические проявления множеств Жулиа, пытаясь классифицировать их бесконечное многообразие, он открыл очень простой способ созда­ния единого изображения на комплексной плоскости, которое может служить своеобразным каталогом всех возможных множеств Жулиа. Это изображение, с тех пор ставшее основным визуальным символом новой математики сложных систем, называется множеством Мандель­бро (рис. 6-19). Это просто совокупность на комплексной плоскости всех точек с константой, для которых соответствующие множества Жулиа представляют единые связные области. Чтобы построить множество Мандельбро, таким образом, следует построить отдельное множество Жулиа для каждой точки на комплексной плоскости и определить, яв­ляется ли это конкретное множество связным, или разделенным. Напри­мер, среди множеств Жулиа, изображенных на рис. 6-18, три набора в верхнем ряду и один в центре нижнего ряда - связны (т. е. каждое из них представляет собой единую фигуру), в то время как крайние наборы в нижнем ряду разделены (т. е. состоят из нескольких отдельных об­ластей).

Рис. 6-19. Множество Мандельбро. Из Peitigen and Richter (1986)

Генерирование множеств Жулиа для нескольких тысяч значений с, каж­дое из которых складывается из тысяч точек, требующих многократных итераций, представляется невыполнимой задачей. Однако к счастью, су­ществует мощная теорема, сформулированная самим Гастоном Жулиа, которая значительно сокращает количество необходимых шагов. Что­бы выяснить, является ли конкретное множество Жулиа связным или разделенным, следует просто произвести итерацию для начальной точ­ки z = 0. Если после нескольких итераций значение в этой точке остается конечным, т. е. имеет некоторый конечный предел, то множество Жулиа будет связным, каким бы фантастичным оно ни выглядело; если же это значение стремится к бесконечности, множество всегда будет разъеди­ненным. Поэтому, чтобы построить множество Мандельбро, необходи­мо выполнить итерацию лишь в одной точке, z = 0, для каждого значе­ния с. Иными словами, для построения множества Мандельбро требует­ся такое же количество шагов, как и для множества Жулиа.

В то время как существует бесконечное количество множеств Жу­лиа, множество Мандельбро уникально. Эта странная фигура представ­ляет собой самый сложный математический объект из всех когда-либо изобретенных. И хотя правила его построения очень просты, многооб­разие и сложность, которые он проявляет при ближайшем рассмот­рении, просто невероятны. Когда множество Мандельбро строится на фиксированной координатной сетке, на экране компьютера появляются два диска: меньший имеет относительно круглую форму, больший отда­ленно напоминает очертания сердца. На каждом из двух дисков выделя­ется несколько небольших дискообразных наростов, расположенных вдоль границ диска, а дальнейшее повышение разрешения выявляет изобилие все более мелких наростов, напоминающих колючие шипы.

Начиная с этого момента, богатство образов, выявляемых расшире­нием границ множества (т. е. повышением разрешающей способности вычислений), почти не поддается описанию. Такое путешествие вглубь множества Мандельбро, особенно зафиксированное на видеопленке, представляет собой незабываемый опыт. По мере того как масштаб съемки растет и изображение границы укрупняется, кажется, что про­растают побеги и усики, которые, после очередного увеличения, раство­ряются в огромном количестве форм - спиралей внутри спиралей, морских коньков и водоворотов, снова и снова повторяющих одни и те же паттерны (рис. 6-20). На каждой стадии изменения масштаба этого фантастического путешествия - в ходе которого мощности сегодняшних компьютеров обеспечивают 100 000 000-кратное увеличение - картина напоминает причудливо изрезанное побережье; образы, изоби­лующие в узорах этого «побережья», удивительно напоминают органи­ческие существа во всей их бесконечной сложности.

Рис. 6-20. Стадии путешествия вглубь множества Мандельбро. На каждой фотографии область последующего увеличения помечена белой рамкой. Из Peitgen and Richter (1986)

И на каждом шагу нас ждет головокружительное открытие: мы снова и снова обнаружива­ем мельчайшую копию всего множества Мандельбро, глубоко запрятан­ную в структуре его границы.

Как только изображение множества Мандельбро появилось в авгус­те 1985 года на обложке «Scientific American», сотни компьютерных энту­зиастов принялись использовать итеративную программу, опублико­ванную в этом номере, для собственных путешествий на домашних компьютерах в дебри множества. Паттерны, обнаруженные в этих путе­шествиях, эффектно раскрашивались, а полученные картины публико­вались в многочисленных книгах и показывались на выставках компь­ютерного искусства во всех уголках мира. Рассматривая эти изумитель­но красивые изображения закрученных спиралей, водоворотов, морских коньков, органических форм, расцветающих и превращаю­щихся в пыль, нельзя не заметить поразительного сходства этих картин с психоделическим искусством 1960-х годов. Это было искусство, инспи­рированное схожими путешествиями, но содействовали им не компь­ютеры и новая математика, а ЛСД и другие психоделические наркотики.

Термин психоделический («проявляющий разум») был изобретен не случайно: подробные исследования показали, что эти наркотики дей­ствуют на человека как усилители, или катализаторы, его собственных психических процессов. Можно предположить поэтому, что фракталь­ные паттерны, столь поразительно проявляющиеся в ЛСД-опыте, ка­ким-то образом встроены в человеческий мозг. Фрактальная геометрия и ЛСД были открыты почти одновременно: это еще одно из тех неверо­ятных совпадений - или синхронизмов? - которые часто происходят в истории идей.

Множество Мандельбро можно рассматривать как склад, резервуар паттернов с их бесконечными деталями и вариациями. Строго говоря, оно не самоподобно, поскольку не только снова и снова повторяет одни и те же паттерны, включая маленькие копии всего множества, но и со­держит, кроме этого, элементы из бесконечного набора множеств Жулиа! Таким образом, это сверхфрактал непостижимой сложности.

И вместе с тем эта структура, превосходящая своей сложностью все пределы человеческого воображения, строится на основе нескольких очень простых правил. Другими словами, фрактальная геометрия, как и теория хаоса, вынудила ученых и математиков пересмотреть само поня­тие сложности. В классической математике простые формулы соответ­ствуют простым формам, сложные формулы - сложным формам. В но­вой математике сложных систем ситуация радикально другая. Простые уравнения могут генерировать поразительно сложные странные аттрак­торы, а простые правила итерации порождают структуры более слож­ные, чем мы можем себе представить. Мандельбро видит в этом новое волнующее направление в науке:

Это очень оптимистичный результат, потому что в конце концов из­начальный смысл изучения хаоса состоял в попытке найти простые законы в окружающей нас Вселенной... Человек всегда направляет свои усилия на поиск простых объяснений для сложных реальнос­тей. Однако контраст между простотой и сложностью никогда еще не был сравним с тем, что мы находим здесь.

Огромный интерес к фрактальной геометрии распространился дале­ко за пределы математического сообщества. Мандельбро видит в этом здоровое направление развития общества. Он надеется, что это положит конец изоляции математики от других видов человеческой деятельнос­ти и повсеместному игнорированию математического языка даже среди людей, в общем, высокообразованных.

Эта изоляция математики - поразительный показатель нашей ин­теллектуальной разобщенности, и в этом смысле она относительно нова. На протяжении нескольких веков многие великие математики вносили выдающийся вклад и в другие области. Так, в XI веке, персидский поэт Омар Хайям, всемирно известный автор «Рубайят», написал, помимо этого, новаторскую книгу по алгебре и служил официальным астроно­мом при дворе халифа. Декарт, основатель современной философии, был блестящим математиком, а также практиковал медицину. Оба изоб­ретателя дифференциального исчисления, Ньютон и Лейбниц, проявля­ли активность и в других областях знания помимо математики. Ньютон был натурфилософом и внес фундаментальный вклад практически во все разделы науки, известные в его времена, а, кроме того, в алхимию, теологию и историю. Лейбниц известен, прежде всего, как философ, но он также был основателем символической логики и большую часть сво­ей жизни вел активную деятельность в качестве дипломата и историка. Великий математик Гаусс был также физиком и астрономом, изобрел несколько полезных технических устройств, в том числе электрический телеграф.

Эти примеры, к которым можно добавить не один десяток других, показывают, что на протяжении всей нашей интеллектуальной истории математика никогда не была изолирована от других сфер человеческого знания и деятельности. В XX веке, однако, прогрессирующий редукцио­низм, фрагментация и специализация привели к крайней степени изо­ляции математики даже внутри научного сообщества. Так, теоретик ха­оса Ральф Эбрем вспоминает:

Когда я начал свою профессиональную деятельность в математике в 1960 году, то есть не так уж давно, математика во всей ее полноте отвергалась физиками, включая и самых авангардных математичес­ких физиков... Было отвергнуто все, что еще год или два назад ис­пользовал Эйнштейн... Физики отказывали старшекурсникам в раз­решении на посещение математических курсов, проводимых мате­матиками: «Учитесь математике у нас. Мы научим вас тому, что вам следует знать»... Это было в 1960 году. К 1968 году ситуация измени­лась полностью.

Великое очарование теорией хаоса и фрактальной геометрией, рас­пространившееся среди людей, которые работают в разных областях - от ученых до менеджеров и художников, - возможно, и в самом деле свидетельствует, что изоляции математики приходит конец. В наше вре­мя новая математика сложных систем все чаще побуждает людей к осо­знанию того, что математика вообще - это нечто намного большее, чем сухие формулы; что понимание паттерна - необходимый путь к пони­манию окружающего нас живого мира; и что все проблемы паттерна, порядка и сложности - это проблемы существенно математического характера.





Сайт "Искусственный интеллект" - программирование ИИ от разработчика: общение, статьи, ссылки.

Copyright "OBRAZEC.RU", 2002-2017. Последние изменения внесены October 31 2010 18:19:06.
С предложениями и замечаниями обращайтесь на форум.



         Дата предыдущего изменения 13 февраля 2007 года.